Sáng kiến kinh nghiệm Tư duy làm toán vận dụng chương khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - Lê Thị Thu Hiền

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI
 TRƯỜNG THCS VÀ THPT Y ĐÔN
    
 SÁNG KIẾN
 ĐỀ TÀI:
 TƯ DUY LÀM TOÁN VẬN DỤNG 
CHƯƠNG KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ 
 HÀM SỐ
 Người thực hiện: Lê Thị Thu Hiền
 Chức vụ : tổ trưởng chuyên môn
 Đơn vị công tác: Trường THCS và THPT Y Đôn
 Năm học 2022-2023 A – MỞ ĐẦU
 Đối với học sinh lớp 12 ôn thi tốt nghiệp THPT, các dạng bài tập thuộc chương 
khảo sát và vẽ đồ thị hàm số luôn luôn xuất hiện trong đề thi TN THPT quốc gia, sau 
này là kỳ thi tốt nghiệp THPT và chiếm tỉ lệ cao so với bài tập các chương còn lại 
trong chương trình học với đầy đủ các mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp và 
vận dụng cao, đặc biệt các câu hỏi vận dụng thường rất khó, học sinh khó tìm ra lời 
giải cho bài toán này. Đứng trước một bài toán vận dụng dạng này học sinh rất lúng 
túng để tìm ra lời giải bài toán, bài tập này thuộc dạng nào ta phải làm sao? Để giải 
quyết được điều đó , tôi mạnh dạn đưa ra cách giải quyết khó khăn này trong đề tài 
sáng kiến “ tư duy làm toán vận dụng chương khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ”.
 Với mục tiêu giúp học sinh vận dụng từ những kiến thức cơ bản như định nghĩa, 
tính chất hàm số đồng biến, nghich biến, cực trị giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, tiệm 
cận, khảo sát và vẽ đồ thị hàm số được trình bày trong SGK, học sinh có thể giải đúng 
hầu hết các bài tập chương khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, giúp cho học sinh tính tự lập, 
sáng tạo và hứng thú trong học tập; không còn thụ động trước những bài toán liên quan 
đến khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .
 Qua đề tài này, tôi hi vọng đây sẽ là một tài liệu tham khảo dành cho giáo viên, 
nhằm phục vụ tốt hơn công tác giảng dạy bộ môn Toán .
 Nội dung của đề tài gồm 2 phần chính:
 Phần 1: Tóm tắt kiến thức cơ bản
 Phần 2: Các dạng bài tập
 1 B. NỘI DUNG
Phần 1: Tóm tắt kiến thức cơ bản
1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
1.1. Định nghĩa
 Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y f x xác định 
trên K ta có:
 •Hàm số y f x được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu: 
 x1,x2 K ,x1 x2 f x1 f x2 
 •Hàm số y f x được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu: 
 x1,x2 K ,x1 x2 f x1 f x2 
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K 
1.2. Định lí mở rộng về tính đơn điệu của hàm số
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên K
 •Nếu f ' x 0 với mọi x K và f ' x 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x K thì 
 hàm số f đồng biến trên K .
 •Nếu f ' x 0 với mọi x K và f ' x 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x K thì 
 hàm số f nghịch biến trên K .
Chú ý: 
 ax b d 
 * Đối với hàm phân thức hữu tỉ y x thì dấu " " khi xét dấu đạo 
 cx d c 
hàm y không xảy ra. 
2. Cực trị của hàm số
2.1. Định nghĩa
 Giả sử hàm số f xác định trên tập K và x0 K . Ta nói:
 • x0 là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng a;b chứa x0 sao cho 
 a;b  K và f x f x0 ,x a;b \ x0 . Khi đó f x0 được gọi là giá trị cực 
 tiểu của hàm số f .
 2 
 • x0 là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng a;b chứa x0 sao cho 
 a;b  K và f x f x0 ,x a;b \ x0 . Khi đó f x0 được gọi là giá trị cực 
 đại của hàm số f .
 •Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và 
 điểm cực trị phải là một điểm trong tập hợp K.
 •Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) 
 của hàm số.
 Nếu là điểm cực trị của hàm số thì điểm x ; f x được gọi là điểm cực trị 
 • x0 0 0 
 của đồ thị hàm số f .
* Nhận xét: 
 •Giá trị cực đại (cực tiểu) f x0 nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) 
 của hàm số f trên tập D; f x0 chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f 
 trên một khoảng a;b nào đó chứa x0 hay nói cách khác khi x0 điểm cực đại ( 
 cực tiểu) sẽ tồn tại khoảng (a;b) chứa x0 sao cho f x0 là giá trị lớn nhất (nhỏ 
 nhất) của hàm số f trên khoảng a;b .
 •Hàm số f có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập K . Hàm số có 
 thể không có cực trị trên một tập cho trước.
2.2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị 
Định lí 1: 
 3 Giả sử hàm số y f x đạt cực trị tại điểm x0 . Khi đó, nếu y f x có đạo hàm tại 
điểm x0 thì f x0 0. 
Chú ý:
 •Đạo hàm f x có thể bằng 0 tại điểm x0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại 
 điểm x0 . 
 •Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.
 •Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 
 hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.
2.3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
 Định lí 2: 
 Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 . Khi đó, nếu hàm số f có đạo hàm tại điểm 
 x0 thì f ' x0 0 . 
 •Nếu f x 0 trên khoảng x0 h;x0 và f x 0 trên khoảng x0;x0 h thì x0 
 là một điểm cực đại của hàm số f x . 
 •Nếu f x 0 trên khoảng x0 h;x0 và f x 0 trên khoảng x0 ; x0 h thì x0 
 là một điểm cực tiểu của hàm số f x .
Định lí 3: 
 Giả sử y f x có đạo hàm cấp 2 trong khoảng x0 h;x0 h với h 0. Khi đó:
 •Nếu f x0 0, f x0 0 thì hàm số f đạt cực đại tại x0.
 •Nếu f x0 0, f x0 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại x0.
3. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
3.1. Định nghĩa.
 Cho hàm số y f x xác định trên tập D. 
 • Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y f x trên D nếu: 
 f (x) M ,x D
 . Kí hiệu: M max f (x) .
 x D, f (x ) M x D
 0 0
 4 • Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x trên D nếu: 
 f (x) m,x D
 . Kí hiệu: m minf (x) .
 x D, f (x ) m x D
 0 0
Chú ý: 
 min f x f a 
 a;b 
 • Nếu y f x đồng biến trên a;b thì .
 max f x f b 
 a;b 
 min f (x) f b 
 a;b 
 •Nếu y f x nghịch biến trên a;b thì .
 max f (x) f a 
 a;b 
 •Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 
 nhất trên khoảng đó. 
4. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
4.1. Đường tiệm cận ngang
 Cho hàm số y f (x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng 
 a; , ;b hoặc ; ). Đường thẳng y y0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm 
cận ngang) của đồ thị hàm số y f (x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được 
thỏa mãn: lim f (x) y , lim f (x) y
 x 0 x 0
4.2. Đường tiệm cận đứng
 Đường thẳng x x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ 
thị hàm số y f (x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
 lim f (x) , lim f (x) , lim f (x) , lim f (x) 
 x x0 x x0 x x0 x x0
 ax b
Lưu ý: Với đồ thị hàm phân thức dạng y c 0; ad bc 0 luôn có tiệm cận 
 cx d
 a d
ngang là y và tiệm cận đứng x .
 c c
5. Tương giao giữa 2 đồ thị hàm số.
 Cho hàm số y f (x) có đồ thị (C1) và y g(x) có đồ thị (C2 ).
 5 Phương trình hoành độ giao điểm của (C1) và (C2 ) là f (x) g(x) 1 . Khi đó:
 •Số giao điểm của (C1 ) và (C2) bằng với số nghiệm của phương trình 1 .
 •Nghiệm x0 của phương trình 1 chính là hoành độ x0 của giao điểm.
 •Để tính tung độ y0 của giao điểm, ta thay hoành độ x0 vào y f x hoặc 
 y g x .
 •Điểm M x0 ; y0 là giao điểm của (C1) và (C2) .
Phần 2: Các dạng bài tập
Dạng 1: Các bài toán vận dụng về tính đơn điệu của hàm số.
Để làm các bài toán liên quan đến tính đơn điệu của hàm số, giáo viên cần nhắc lại cho 
học sinh định nghĩa, định lý liên quan, tư duy từ các bài tập đơn giản đến phức tạp cụ 
thể như sau:
Ví dụ 1: [ĐỀ BGD 2020-MĐ 102] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao 
 1
cho hàm số f x x3 mx2 4x 3 đồng biến trên ¡ ?
 3
 A. 5 . B. 4 . C. 3 . D. 2 .
 Lời giải
 * TXĐ: D ¡ .
 * Ta có: f x x2 2mx 4
 Để hàm số đồng biến trên ¡ thì điều kiện là 
 f x 0; x ¡ m2 4 0 2 m 2
 mà m ¢ m 2; 1;0;1;2 .
Lời bình: Bài tập trên chỉ sử dụng định lý mở rộng về tính đơn điệu của hàm số và 
định lý về dấu của tam thức bậc hai.
 Nếu như khoảng đồng biến (nghịch biến) trên ¡ thay bởi khoảng K bất kì thì ta 
tư duy như thế nào?
 Ví dụ 2: [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m 
 để hàm số y x3 3x2 4 m x đồng biến trên khoảng 2; là
 A. ;1 B. ;4 C. ;1 D. ;4 
 6 Lời giải
 Ta có.
 y' 3x2 6x 4 m . ycbt y' 0,x 2; 
 3x2 6x 4 m 0,x 2; m 3x2 6x 4,x 2; 
 m min g x với g x 3x2 6x 4
 2; 
 Ta có.
 g ' x 6x 6
 g ' x 0 6x 6 0 x 1
 x 1 2 
 g ' x 0 
 g x 
 4
 Dựa vào bảng biến thiên, suy ra: m 4 thỏa yêu cầu bài toán.
 Vậy: m ;4 thì hàm số đồng biến trên khoảng 2; .
Lời bình: Bài tập trên chỉ sử dụng định lý mở rộng về tính đơn điệu của hàm số và sự 
tương giao của hai đồ thị hàm số (cô lập m).
 Nếu như ta không cô lập được m thì còn cách giải nào nữa không?
Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 
 y 2x3 3 m 1 x2 6 m 2 x 2023 nghịch biến trên khoảng a;b sao cho b a 3 là
 m 0
A. .m 6 B. . m 9 C. . mD. 0. 
 m 6
 Lời giải
Ta có y 6x2 6 m 1 x 6 m 2 
Hàm số nghịch biến trên a;b x2 m 1 x m 2 0x a;b 
 m2 6m 9
TH1: 0 x2 m 1 x m 2 0 x ¡ Vô lí
TH2: 0 m 3 y có hai nghiệm x1, x2 x2 x1 
 7 Hàm số luôn nghịch biến trên x1; x2 .
Yêu cầu đề bài:
 2 2
 x2 x1 3 x2 x1 9 S 4P 9
 2 2 m 6
 m 1 4 m 2 9 m 6m 0 
 m 0
Lời bình: Trong bài tập trên nhất thiết phải sử dụng hệ thức viet về nghiệm của 
phương trình bậc hai.
 ax b
 Nếu bài toán này liên quan đến hàm phân thức hữu tỉ y thì học sinh cần 
 cx d
chú ý gì không để khi làm toán cho kết quả chính xác?
 Ví dụ 4: [Đề-BGD-2020-Mã-101] Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để 
 x 4
 hàm số y đồng biến trên khoảng ; 7 là
 x m
 A. 4;7 . B. 4;7 . C. 4;7 . D. 4; .
 Lời giải
 Tập xác định: D ¡ \ m .
 m 4
 y ' .
 x m 2
 Hàm số đồng biến trên khoảng 
 y ' 0 m 4
 ;7 4 m 7 .
 m ; 7 m 7
 Vậy m 4;7 thì hàm số đồng biến trên khoảng ; 7 .
 Nhận xét: Bài toán này không mới, tuy nhiên các bạn học sinh học không kĩ 
 vẫn có thể bị sai khi thiếu điều kiện m ; 7 , và dẫn tới sai lầm khi chọn 
 đáp án.
Bài tập tương tự:
Câu 1: [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102] Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm 
số y x3 3x2 5 m x đồng biến trên khoảng 2; là
 A. ;2 . B. ;5 . C. ;5. D. ;2 .
 Lời giải
 8 Ta có y 3x2 6x 5 m .
 Hàm số đã cho đồng biến trên 2; khi và chỉ khi y 0,x 2; 
 3x2 6x 5 m 0,x 2 m 3x2 6x 5,x 2 .
 Xét hàm số f x 3x2 6x 5 trên khoảng 2; .
 Có f x 6x 6 , f x 0 6x 6 0 x 1 (lo¹i) .
 Bảng biến thiên
 Từ bàng biến thiên ta có m 3x2 6x 5,x 2 m 5.
 Vậy m ;5 .
Câu 2: [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102] Tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm 
 x 5
số y đồng biến trên khoảng ; 8 là
 x m
 A. 5; . B. 5;8. C. 5;8 . D. 5;8 .
 Lời giải
 Tập xác định của hàm số là D ¡ \ m .
 x 5 y 0,x ; 8 
 Hàm số y đồng biến trên khoảng ; 8 
 x m x m
 m 5
 0,x ; 8
 2 m 5 m 5
 x m 5 m 8.
 m 8 m 8
 m ; 8 
 Vậy m 5;8 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 3: [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104] Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để 
 x 3
hàm số y đồng biến trên khoảng ; 6 là
 x m
 A. 3;6 . B. 3;6 . C. 3; . D. 3;6 .
 Lời giải
 9 TXĐ: D = ¡ \ {- m}.
 m 3
 Ta có y .
 x m 2
 Để hàm số đồng biến trên khoảng ; 6 Û y¢> 0 " x Î (- ¥ ;- 6).
 ïì m- 3> 0 ïì m > 3 ïì m > 3
 Û íï Û íï Û íï Û 3< m £ 6.
 ï ï ï
 îï - m Ï (- ¥ ;- 6) îï - m ³ - 6 îï m £ 6
 Nếu bài toán liên quan đến hàm hợp thì ta phải làm như thế nào?
Ví dụ 1:[ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Cho hàm số f x , bảng xét dấu của f x như sau:
 x 3 1 1 
 f x 0 0 0 
 Hàm số y f 3 2x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
 A. 4; . B. 2;1 . C. 2;4 . D. 1;2 .
 Lời giải
 Ta có: y 2. f 3 2x .
 3 3 2x 1 2 x 3
 y 0 2. f 3 2x 0 f 3 2x 0 .
 3 2x 1 x 1
 Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên 2;3 và ;1 .
Lời bình: Bài tập trên sử dụng công thức đạo hàm của hàm hợp, định lý mở rộng về 
 tính đơn điệu của hàm số và nhìn vào bảng xét dấu, cuối cùng ta thay ẩn x bởi 
 biểu thức 3-2x. Rồi giải bất phương trình bậc nhất đơn giản để tìm được kết 
 quả bài toán.
 Ví dụ 2: [Đề tham khảo 2023 BGD – Câu 50] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham 
 số a 10; để hàm số y x3 a 2 x 9 a2 đồng biến trên khoảng 0;1 ?
 A. 12. B. 11. C. 6. D. 5.
 Lời giải
 Xét f x x3 a 2 x 9 a2
 f ' x 3x2 a 2
 Để y f x đồng biến trên khoảng 0;1 
 10 f ' x 0,x 0;1 
 TH1: 
 f 0 0
 2 2
 3x a 2 0,x 0;1 a Max 3x 2 a 2
 0;1 a  2;3
 9 a2 0 2 3 a 3
 9 a 0 
 a 2; 1;0;1;2;3; → 6 giá trị
 f ' x ,x 0;1 
 TH2: 
 f 0 0
 a 5
 2 2 
 3x a 2 0,x 0;1 a Min 3x 2 
 0;1 a 3 a 5
 2 
 9 a 0 9 a2 0 
 a 3
 Kết hợp với điều kiện bài toán a 9; 8; 7; 6; 5 → 5 giá trị
 Vậy có 11 giá trị thoả mãn.
 Lời bình: Trong bài tập này học sinh tưởng chừng như quá khó, nhưng thực chất ta 
 chỉ sử dụng định lý mở rộng về tính đơn điệu của hàm số, định nghĩa giá trị tuyệt đối.
 Bài toán cho đồ thị hàm số, tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm hợp, ta làm 
 như thế nào?
Ví dụ 3: [Đề BGD 2018 – Mã đề 101]Cho hai hàm số y f x , y g x . Hai hàm số 
 y f x và y g x có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm 
 hơn là đồ thị của hàm số y g x .
 3 
 Hàm số h x f x 4 g 2x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
 2 
 11 31 9 31 25 
 A. . 5; B. ;3 . C. . ; D. . 6; 
 5 4 5 4 
 Lời giải
 Kẻ đường thẳng y 10 cắt đồ thị hàm số y f x tại A a;10 , a 8;10 . Khi 
 f x 4 10,khi3 x 4 a f x 4 10,khi 1 x 4
 đó ta có 3 3 3 3 25 .
 g 2x 5,khi0 2x 11 g 2x 5,khi x 
 2 2 2 4 4
 3 3
 Do đó h x f x 4 2g 2x 0 khi x 4 .
 2 4
 Lời bình: ngoài cách giải trên, ta còn cách suy luận khác
 3 
 Ta có h x f x 4 2g 2x .
 2 
 9 25
 Dựa vào đồ thị, x ;3 , ta có x 4 7 , f x 4 f 3 10 ;
 4 4
 3 9 3 
 3 2x , do đó g 2x f 8 5 .
 2 2 2 
 3 9 
 Suy ra h x f x 4 2g 2x 0,x ;3 . Do đó hàm số đồng biến 
 2 4 
 9 
 trên ;3 .
 4 
Dạng 2: Các bài toán vận dụng về cực trị của hàm số 
Dựa vào khái niệm cực đại, cực tiểu, điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị, học sinh 
có thể tìm ra các phương pháp giải phù hợp các dạng toán thông qua ví dụ sau:
Ví dụ 1: [Đề BGD Năm 2017– Mã 101]. Đồ thị của hàm số y x3 3x2 9x 1 có hai 
điểm cực trị A và B. Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB?
 A. P(1;0) B. M (0; 1) C. N(1; 10) D. Q( 1;10)
 Lời giải
 y ' 3x2 6x 9 
 x 1 
Ta có: y y ' 8x 2 
 3 3 
 đường thẳng d: y 8x 2 là đường thẳng qua 2 điểm cực trị A, B
Ta thấy tọa độ điểm N(1; -10) thỏa mãn phương trình của d
Nên N d 
 12 Lời bình: Ngoài cách viết phương trình đường thẳng đi qua cực trị như trên, giáo 
viên có thể hướng dẫn học sinh tìm 2 cực trị của hàm số rồi viết phương trình đường 
thẳng đi qua 2 điểm đó.
Các bài toán có tham số thì học sinh cần tư duy như thế nào? Một điều chắc chắc rằng, 
các bài toán đều vận dụng điều kiện về nghiệm của phương trình bậc 2, dùng quy tắc 
I,II được trình bày trong sách giáo khoa giải tích 12 của Bộ giáo dục và đạo tạo, 
 1 1
Ví dụ 2: Tìm tất cả tham số thực của m để hàm số y m 2 x3 x2 mx 2 có cực 
 3 3
đại, cực tiểu.
 A. .m 3; 2  2;1 B. . m 3;1 
 C. .m ; 3  1; D. . m 2;1 
 Lời giải
 1
 y m 2 x2 2x m .
 3
 Hàm số có cực đại, cực tiểu khi phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt 
 1 2
 0 1 m2 m 0 3 m 1
 3 3 3 m 2 hoặc 2 m 1 .
 m 2 0 m 2
 m 2
Lời bình: Trong bài tập này học sinh chỉ cần nhớ điều kiện để một phương trình bậc 
hai có 2 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 3: Tìm điều kiện của tham số thực m để hàm số y x4 2 m 1 x2 3 có 3 cực 
 trị.
 A. .m 0 B. . m 1 C. . mD. . 1 m 0
 Lời giải
 Tập xác định: D ¡ .
 Ta có: y 4x3 4 m 1 x .
 YCBT y 0 có 3 nghiệm phân biệt m 1 0 m 1 .
 Lời bình: Trên đây không phải là cách giải tối ưu, trong quá trình dạy học, 
 giáo viên đã nhấn mạnh điều kiện để hàm trùng phương có 1 cực trị và 3 cực 
 trị.
Bài tập tương tự:
 13 Câu 1. Hàm số y x4 (m 2)x2 5 có 3 cực trị với điều kiện m nào sau đây?
 A. .B.m 2 .C.m 3 .D. 3Đáp m số khác.2
 Lời giải
 Hàm số y x4 (m 2)x2 5 có 3 cực trị ab 0 m 2 0 m 2 .
Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham sốm để hàm số y x3 3x2 m 1 x 2 có 
 hai điểm cực trị.
 A. .m 2 B. . m 2 C. . mD. 2. m 4
 Lời giải
 Ta có y 3x2 6x m 1 . Hàm số có hai điểm cực trị khi y 0 có hai nghiệm 
 phân biệt.
 0 9 3 m 1 0 m 2 .
 1
Câu 3: Hàm số y x3 2m 3 x2 m2 x 2m 1 không có cực trị khi và chỉ khi.
 3
 A. .m 1 B. . C. . m 3D.  m . 1 3 m 1 m 3
 Lời giải
 y ' x2 2(2m 3)x m2 .
 Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi phương trình y’ 0 vô nghiệm hoặc có 
 nghiệm kép ' 0 3m 2 12m 9 0 3 m 1 .
 Lời bình: Khi học sinh gặp dạng toán hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại đâu thì 
 giáo viên cần nhấn mạnh sử dụng quy tắc II như thế nào? Khi sử dụng quy 
 tắc này cần chú ý gì không?
Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 
 1 1
 y x3 2m 3 x2 m2 3m 4 x đạt cực tiểu tại x 1 .
 3 2
 A. .m 2 B. . m 3
 C. mhoặc 3 . m 2 D. hoặc m .2 m 3
 Lời giải
 Ta có y x2 2m 3 x m2 3m 4 ; y 2x 2m 3 .
 Do phương trình y 0 x2 2m 3 x m2 3m 4 0 có 25 0 nên 
 phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt.
 14 Để hàm số đạt cực tiểu tại x 1 thì 
 m 2
 y 1 0 2 
 m m 6 0 m 3
 m 3 .
 y 1 0 2.1 2m 3 0 1
 m 
 2
 Lời bình: Học sinh chỉ sử dụng quy tắc II đáp án bài toán là tìm ra lời đáp 
 án
 x2 mx 1
 Ví dụ 5: Để hàm số y đạt cực đại tại x 2 thì m thuộc khoảng nào ? 
 x m
 A. . 0;2 B. . 4; C.2 . D. . 2;0 2;4 
 Lời giải
 Tập xác định: D ¡ \ m .
 x2 2mx m2 1
 Đạo hàm: y . 
 x m 2
 4 4m m2 1 m 3
 Hàm số đạt cực trị tại x 2 thì y 2 0 2 0 . 
 2 m m 1
 x2 6x 8 x 2
 Với m 3 y 2 ; y 0 . Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số 
 x 3 x 4
 đạt cực đại tại x 2 nên m 3 ta nhận. 
 x2 2x x 0
 Với m 1 y 2 ; y 0 . Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số 
 x 1 x 2
 đạt cực tiểu tại x 2 nên m 1 ta loại. 
 Lời bình: Bài này ta sử dụng quy tắc I dễ hơn, vì đạo hàm cấp 2 phức tạp 
 hơn.
 Các bài toán thêm điều kiện về cực trị thì ta xử lý như thế nào?
Ví dụ 6:Tìm mđể đồ thị hàm số y x4 mx2 1 có ba đỉnh lập thành một tam giác 
 vuông.
 A. .m 1 B. . m 0 C. m 2 D. .m 1
 Lời giải
 Ta có y 4x3 2mx
 15 x 0 y 1
 3 
 y 0 4x 2mx 0 2m m2 
 x ,(m 0) y 1 
 2 4
 2m m2 
 A 0;1
 Ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là ; B ;1 ; 
 2 4 
 2m m2 
 C ;1 
 2 4 
 Ba điểm A, B,C lập thành tam giác cân tai A . Do đó ABC vuông khi 
   
 AB.AC 0 
 2 2
 2m 2m m m 4
 0 m 8m 0 m 2 ( do m 0 )
 2 2 4 4 
 Lời bình: Bài này học sinh cần nắm được điều kiện hàm trùng phương có 3 
 cực trị, tìm được tọa độ 3 điểm cực trị và dùng ứng dụng tích vô hướng của 
 hai vecto.
 Cực trị của hàm hợp ta làm như thế nào?
Ví dụ 7 [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101] Cho hàm số f x , bảng biến thiên của hàm số 
 f x như sau
 Số điểm cực trị của hàm số y f x2 2x là
 A. 9 . B. 3 . C. 7 . D. 5 .
 Lời giải
 Từ bảng biến thiên ta có phương trình f x 0 có các nghiệm tương ứng là
 x a,a ; 1 
 x b,b 1;0 
 .
 x c,c 0;1 
 x d,d 1; 
 16 Xét hàm số y f x2 2x y 2 x 1 f x2 2x .
 Giải phương trình 
 x 1
 2
 x 2x a 1 
 x 1 0 
 y 0 2 x 1 f x2 2x 0 x2 2x b 2 .
 f x2 2x 0 
 2
 x 2x c 3
 2
 x 2x d 4 
 2
 Xét hàm số h x x2 2x ta có h x x2 2x 1 x 1 1,x ¡ do đó
 Phương trình x2 2x a, a 1 vô nghiệm.
 2
 Phương trình x 2x b, 1 b 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 không trùng 
 với nghiệm của phương trình 1 .
 2
 Phương trình x 2x c, 0 c 1 có hai nghiệm phân biệt x3; x4 không trùng 
 với nghiệm của phương trình 1 và phương trình 2 .
 2
 Phương trình x 2x d, d 1 có hai nghiệm phân biệt x5; x6 không trùng với 
 nghiệm của phương trình 1 và phương trình 2 và phương trình 3 .
 Vậy phương trình y ' 0 có 7 nghiệm phân biệt nên hàm số y f x2 2x có 
 7 điểm cực trị.
 Lời bình: Học sinh chỉ cần tìm được số nghiệm đơn phân biệt của phương 
 trình y ' 0 là kết luận được số cực trị của hàm số.
í dụ 8 : [Đề-BGD-2020-Mã-101] Cho hàm số f (x) bậc 4 có bảng biến thiên như sau:
 17 4 2
 Số điểm cực trị của hàm số g x x f x 1 là
 A. 11. B. 9 . C. 7 . D. 5.
 Lời giải
 Ta chọn hàm bậc bốn y f (x) 5x4 10x2 3 có bảng biến thiên như đề cho.
 3 2 4
 Ta có g '(x) 4x f x 1 x .2. f x 1 f ' x 1 0
 3
 2x . f x 1 . 2 f x 1 xf ' x 1 0
 x3 0 (1)
 f x 1 0 (2)
 2 f x 1 xf ' x 1 0 (3)
 + Phương trình (1) có nghiệm bội x 0 .
 + Từ bảng biến thiên của hàm số y f x , ta có phương trình f x 0 có 4 
 nghiệm phân biệt x 1 Phương trình (2): f x 1 0 có 4 nghiệm phân biệt 
 x 0 .
 + Giải (3): Đặt x 1 t x t 1, phương trình (3) trở thành:
 2 f t t 1 . f ' t 0 2 5t 4 10t 2 3 t 1 20t3 20t 0
 30t 4 20t3 40t 2 20t 6 0 (3')
 Bấm MTCT thấy phương trình (3’) có 4 nghiệm phân biệt t 1.
 Phương trình (3) có 4 nghiệm phân biệt x 0 .
 Ngoài ra, nghiệm của phương trình (2) không phải là nghiệm của phương 
 trình (3) vì những giá trị x thỏa mãn f x 1 0 không thỏa mãn phương trình 
 (3).
 Do đó phương trình g ' x 0 có 9 nghiệm phân biệt nên hàm số 
 4 2
 g x x f x 1 có 9 điểm cực trị.
 Lời bình: Học sinh chỉ cần tìm được số nghiệm đơn phân biệt của phương 
 trình y ' 0 là kết luận được số cực trị của hàm số.
 Nếu bài toán cho đồ thị hàm số, tìm cực trị của hàm hợp ta làm như thế nào?
Bài tập tương tự:
Câu 1: [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Cho hàm số bậc 4 có bảng biến thiên như hình 
vẽ.
 18 4 2
Số điểm cực trị của hàm số g x x f x 1 là
A. 7 . B. 5 . C. 9 . D. 11.
 Lời giải
Cách 1. Từ giả thiết đề bài đã cho ta thấy rằng hàm số f x có dạng 
 f x ax4 bx2 c .
Sử dụng giả thiết ta được
 f x 4x4 8x2 3 f x 1 16 x 1 3 16 x 1 16x x 1 x 2 .
Ta có
 3 2 4
 g x 0 4x f x 1 2x . f x 1 . f x 1 0
 x 0
 f x 1 0
 2 f x 1 x. f x 1 0 * 
 x
Xét phương trình * f x 1 . f x 1 , ta có 
 2
 x
 . f x 1 8x2 x 1 x 2 .
 2
 x
Biểu diễn hai hàm số f x 1 và . f x 1 trên cùng một đồ thị đồ thị ta có
 2
 19