Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng định lí Vi-et giải một số bài toán trong môn Đại số 9 - Nguyễn Thị Ái Trinh

 Đề tài: “Ứng dụng định lí Vi-et giải một số bài toán trong môn Đại số 9”
 PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ
 Toán học ngày nay giữ một vai trò quan trọng đối với cách mạng khoa 
học kỹ thuật. Nó ngày càng thu hút sự quan tâm của nhiều người đối với việc 
học toán ở trường phổ thông và kích thích sự ham muốn của học sinh ở mọi 
lứa tuổi.
 Luật Giáo dục 2005 (điều 5) quy định: “ Phương pháp giáo dục phải phát 
huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng 
cho người học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý 
chí vươn lên”.
 Với mục tiêu giáo dục phổ thông là “ giúp học sinh phát triển toàn diện 
về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng 
lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt 
Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị 
cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây 
dựng và bảo vệ Tổ quốc”. 
 Muốn cho học sinh nhất là học sinh Trung học cơ sở có những tính tích 
cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo có năng lực tự học, khả năng thực 
hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên thì đòi hỏi người giáo viên phải 
có một phương pháp dạy học đạt hiệu quả cao đối với từng bài dạy.
 Trong chương trình Toán lớp 9 THCS, học sinh được làm quen với phương 
trình bậc hai một ẩn : Công thức tính nghiệm của phương trình bậc hai, đặc 
biệt là định lý Vi-ét và các ứng dụng trong việc giải một số bài toán. 
 Song qua việc giảng dạy Toán 9 tại trường THCS tôi nhận thấy các em 
vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán chưa thật linh hoạt, chưa biết khai thác 
và sử dụng hệ thức Vi-ét vào giải nhiều loại bài toán dạng tam thức bậc hai, 
trong khi đó phân phối chương trình cho phần định lý Viet là rất ít (1 tiết lý 
 GV: Nguyễn Thị Ái Trinh 1
 Đề tài: “Ứng dụng định lí Vi-et giải một số bài toán trong môn Đại số 9”
thuyết, 1 tiết bài tập), vì thế đại đa số học sinh thường lúng túng khi đứng 
trước các bài toán có liên quan đến định lý Vi-ét và một số ứng dụng của định 
lí đó, mà hệ thức Vi-ét có tính ứng dụng rất rộng rãi trong việc giải toán . 
Trước thực tế đó, nhằm giúp các em nắm được một cách có hệ thống và có 
khả năng giải quyết được các bài tập về phần này một cách thành thạo, nhằm 
phát huy khả năng suy luận, óc phán đoán, tính linh hoạt của học sinh, tôi đã 
nghiên cứu và chọn đề tài: “Ứng dụng định lý Vi-ét giải một số bài toán 
trong môn Đại số 9 ” với mong muốn giúp cho học sinh nắm vững và sử dụng 
thành thạo định lý Vi-ét, đồng thời làm tăng khả năng, năng lực học toán và 
kích thích hứng thú học tập của học sinh.
 GV: Nguyễn Thị Ái Trinh 2
 Đề tài: “Ứng dụng định lí Vi-et giải một số bài toán trong môn Đại số 9”
 PHẦN II. NỘI DUNG
 1. Cơ sở lí luận
 Để phát huy tính tích cực, tự giác chủ động của học sinh nhằm bồi 
dưỡng và phát triển trí tuệ và năng lực hoạt động của học sinh là nhiệm vụ 
trọng tâm trong quá trình dạy học, là nội dung của việc đổi mới phương pháp 
dạy học theo chương trình cải tiến.
 Dạy học toán là dạy cho học sinh phương pháp học toán và giải toán để 
vận dụng kiến thức đã học vào thực tế cuộc sống. Nội dung kiến thức toán 
học được trang bị cho học sinh THCS ngoài việc dạy lí thuyết còn phải chú 
trọng tới việc dạy học sinh áp dụng các định lí vào giải các dạng toán khác 
nhau . Nhưng để làm được điều đó đòi hỏi học sinh phải nắm chắc kiến thức 
cơ bản đã học, sau đó biết vận dụng các kiến thức đã học đó một cách linh 
hoạt, sáng tạo, tính cẩn thận, kết hợp với sự khéo léo và kinh nghiệm đã tích 
luỹ được để giải quyết các bài tập có liên quan. Thông qua việc giải bài tập 
chống tư tưởng hình thức hoá, ỷ lại, tư tưởng ngại khó. Do đó việc nâng cao 
năng lực tư duy, óc sáng tạo, rèn kỹ năng phán đoán, suy luận của học sinh là 
rất cần thiết cho con đường tiếp theo sau này.
 2. Thực trạng của vấn đề
 Trong một số năm dạy toán 9 ở trường THCS, tôi nhận thấy việc áp 
dụng công thức nghiệm vào giải và biện luận các phương trình bậc hai học 
sinh thực hiện khá tốt, tuy nhiên việc ứng dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán thì 
các em chưa thật sự linh hoạt, chưa nắm chắc cách giải, chưa biết khai thác và 
sử dụng hệ thức Vi-ét vào giải nhiều loại bài toán, trong khi đó hệ thức Vi-ét 
có tính ứng dụng rất rộng rãi trong việc giải toán. Hơn nữa , hệ thức Viét là 
một nội dung quan trọng trong chương trình Đại số 9. Chính vì vậy, tôi luôn 
trăn trở là phải làm thế nào? hướng dẫn học sinh học tập ra sao? để học sinh 
 GV: Nguyễn Thị Ái Trinh 3
 Đề tài: “Ứng dụng định lí Vi-et giải một số bài toán trong môn Đại số 9”
có thể ứng dụng định lí Vi-ét giải một số bài toán. Đứng trước vấn đề đó tôi 
quyết định đi sâu vào nghiên cứu đề tài “ Ứng dụng định lí Vi-ét giải một số 
bài toán trong môn Đại số 9” với mong muốn giúp cho học sinh nắm vững và 
sử dụng thành thạo định lý Vi-ét, góp phần nâng cao kết quả học tập , bồi 
dưỡng năng lực học toán, kích thích hứng thú học tập bộ môn của học sinh và 
đạt kết quả cao trong các kỳ thi.
3. Nội dung và biện pháp tổ chức thực hiện
Để làm được dạng toán này trước hết các em cần chú ý
3. 1. Nắm được nội dung của định lí Vi-ét và ứng dụng của nó
a. Hệ thức Vi-ét : 
 2
 Nếu phương trình ax + bx + c = 0 ( a 0 ) có 2 nghiệm x1 , x2 thì hai 
 nghiệm đó là: 
 b
 + Có tổng S bằng : S = x x 
 1 2 a
 c
 + Có tích P bằng : P = x1.x2 = 
 a
b. Ứng dụng của định lí Vi-ét
b.1. Tính nhẩm nghiệm 
* Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) có a + b + c = 0 thì phương trình 
 c
có một nghiệm là : x1 = 1 còn nghiệm kia là : x2 = .
 a
* Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) có a - b + c = 0 thì phương trình 
 c
có một nghiệm là : x1 = -1 còn nghiệm kia là : x2 = .
 a
b.2. Tìm 2 số biết tổng và tích của chúng:
 u v S
 Nếu có 2 số u và v thỏa mãn : thì u và v là nghiệm của phương 
 u.v P
trình: x2 - Sx + P = 0 (1)
 GV: Nguyễn Thị Ái Trinh 4
 Đề tài: “Ứng dụng định lí Vi-et giải một số bài toán trong môn Đại số 9”
 Như vậy việc tìm 2 số quy về việc giải phương trình (1) (Tìm nghiệm 
của phương trình đó 2 số cần tìm).
 Chú ý: Nếu S2 - 4P 0 thì tồn tại 2 số.
 Nếu S - 4P < 0 không tồn tại 2 số.
Căn cứ tình hình thực tế việc vận dụng định lý Vi-ét vào giải bài toán của học 
sinh tôi nhận thấy việc phân dạng và tìm ra phương pháp giải phù hợp là bước 
hết sức quan trọng và cần thiết, chỉ cần các em có ý thức học tập và biết tìm 
tòi khám phá thì các em có thể tự mình biết nhận dạng bài toàn và sử dụng 
phương pháp phù hợp từ đó các em sẽ giải được tất cả các bài toán liên quan.
3. 1. Một số dạng toán vận dụng định lí Vi-ét vào giải toán
Việc áp dụng định lí Vi-ét vào giải Toán có rất nhiều dạng, nhưng tôi chỉ xin 
minh họa một số dạng cơ bản trong chương trình toán trung học cơ sở mà học 
sinh thường gặp
3.1.1 Dạng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai .
a) Phương pháp giải
 Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a 0 ) 
Bước 1: Xác định hệ số a, b, c. Kiểm tra a+b+c , a-b+c có bằng 0 không?
Bước 2: 
* Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là : x1 = 1 còn nghiệm kia 
 c
là : x2 = 
 a
* Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là : x1 = -1 còn nghiệm kia 
 c
là : x2 = 
 a
b) Một số ví dụ
 VD1: Giải phương trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất
 a, 2x2 + 3x + 1= 0 (1)
 GV: Nguyễn Thị Ái Trinh 5
 Đề tài: “Ứng dụng định lí Vi-et giải một số bài toán trong môn Đại số 9”
 b, -5x2 + 3x + 2 = 0 (2)
 c, 2004x2 + 2005x + 1 = 0 (3)
 Hướng dẫn 
 2
 a, Phương trình 2x + 3x + 1= 0 có ( a - b + c = 2 - 3 + 1 = 0)
 Nên phương trình (1) có nghiệm : x1 = -1 ; x2 = - 1/2
 b, Phương trình -5x2 + 3x + 2 = 0 có a + b + c = (- 5) + 3 + 2 = 0 
 2
 Nên phương trình (2) có 2 nghiệm : x1 = 1 và x2 = - 
 5
 c, Phương trình 2004x2 + 2005x + 1 = 0 
 có a – b + c = 2004 – 2005 + 1 = 0 
 1
 Vây có 2 nghiệm: x1 = -1 và x2 = - 
 2004
3.1.2 Dạng 2: Tính tổng và tích các nghiệm
a) Phương pháp giải
 Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a 0 ) 
Bước 1: Tính và chứng tỏ 0 để phương trình có nghiệm 
Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét tính : 
 b
 + Tổng S = x x 
 1 2 a
 c
 + Tích P = x1.x2 = 
 a
b) Một số ví dụ
 VD1: Không giải phương trình , hãy tính tổng và tích các nghiệm số 
của các phương trình sau ( Nếu có ): 
a) 4x2 +2x -5 = 0 b) 5x2 + x + 2 = 0 c) x2 -14x +33 = 0 
 Hướng dẫn 
 a) 4x2 +2x -5 = 0 
 1 5
Vì a,c trái dấu nên pt có nghiệm x1 + x2 = ; x1. x2 = 
 2 4
 GV: Nguyễn Thị Ái Trinh 6
 Đề tài: “Ứng dụng định lí Vi-et giải một số bài toán trong môn Đại số 9”
 b) 5x2 + x + 2 = 0 
 Vì = 1 – 4.5.2 = - 39 < 0 
 Vậy phương trình vô nghiệm, nên không tính được tổng và tích hai nghiệm
 c) x2 -14x +33 = 0 
 Vì ’ = (-7)2 – 1.33 = 16 > 0 
 Nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt 
 Suy ra x1 + x2 = 14 ; x1. x2 = 33
3.1.3 Dạng 3: Tìm 2 số biết tổng và tích của chúng:
a) Phương pháp giải
 u v S
 Nếu 2 số u và v có 
 u.v P
Bước 1: Lập phương trình bậc hai : x2 - Sx + P = 0 (*) (với S=u+v, P=uv)
Bước 2: Giải phương trình (*) suy ra hai số u, v
 Nếu S2 - 4P 0 thì tồn tại 2 số u, v
 Nếu S - 4P < 0 không tồn tại 2 số u, v
b) Một số ví dụ
 Ví dụ 1. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau: 
 a) u + v = 42 ; u.v = 441
 b) u - v = 5 ; u.v = 66
 c) u2 + v2 = 25 ; u.v = 12
 Hướng dẫn
 a) u + v = 42 ; u.v = 441
 u và v là nghiệm của phương trinh : x2 - 42x + 441 = 0 
 ’ = 212 – 441 = 441 – 441 = 0 
Vì ’ = 0 nên phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = 21 
 GV: Nguyễn Thị Ái Trinh 7
 Đề tài: “Ứng dụng định lí Vi-et giải một số bài toán trong môn Đại số 9”
 u = v = 21 
 b) u - v = 5 ; u.v = 66
Đề bài cho biết u – v = 5 nên ta phải biến đổi u – v = u + (–v) = 5 
 Suy ra u. (–v) = –66
 u và v là nghiệm của phương trình x2 - 5x - 66 = 0 
 Giải phương trình ta được u = - 6 ; - v =11 hoặc u = 11 ; - v = 
 Vậy các cặp (u,v) cần tìm là :(-6;-11) ; ( 11;6)
 c) u2 + v2 = 25 ; u.v = 12
 Ta có (u+v)2 = u2 + v2+2uv = 25 + 24 = 49 u +v = 7
 TH1: u + v = 7 ; u.v = 12
 u và v là nghiệm của phương trình x2 - 7x + 12 = 0 
 Giải phương trình ta được u =3; v =4 hoặc u = 4 ; v = 3
 TH2: u + v = -7 ; u.v = 12
 u và v là nghiệm của phương trình x2 + 7x + 12 = 0 
 Giải phương trình ta được u =-3; v =-4 hoặc u = -4 ; v = -3
Vậy các cặp (u,v) cần tìm là :(3;4) ; ( 4;3) ; (-3;-4) ; ( -4;-3)
 Ví dụ 2. Tìm 2 cạnh của một hình chữ nhật có chu vi là 24cm và diện 
tích là 32cm2.
Hướng dẫn:
Đề bài cho biết chu vi và diện tích hình chữ nhật, tức biết tổng và tích hai cạnh 
hình chữ nhật nên ta vận dụng định lý Vi-ét vào giải
 * Gọi 2 cạnh hình chữ nhật là u và v (u > 0; v > 0).
 2u 2v 24 u v 12
 Ta có: 
 uv 32 vu 32
 Nên u, v là nghiệm của phương trình: x2 – 12x + 32 = 0 
 Giải phương trình ta được được x1 = 4 ; x2 = 8
 Vậy độ dài 2 cạnh hình chữ nhật là 4cm và 8cm
 GV: Nguyễn Thị Ái Trinh 8
 Đề tài: “Ứng dụng định lí Vi-et giải một số bài toán trong môn Đại số 9”
3.1.4 Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) Phương pháp giải
 2
 Nếu phương trình ax + bx + c = 0 ( a 0 ) có hai nghiệm x1; x2 thì 
 2
ax + bx + c = a(x –x1)(x –x2)
b) Một số ví dụ
Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
a) x2 – 5x + 6 b) 3x2 – 7x – 10
 Hướng dẫn
a) Giải phương trình x2 – 5x + 6 = 0
 = 25 – 24 = 1
Phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1 = 3 ; x2 = 2
Vậy x2 – 5x + 6 = (x – 3)(x – 2)
b) Giải phương trình 3x2 – 7x – 10= 0
Ta có a – b +c = 3 +7 – 10 = 0
 10
Nên phương trình có hai nghiệm: x1 = – 1 ; x2 = 
 3
Vậy 3x2 – 7x – 10 = 3(x + 1)(x – 10 ) 
 3
3.1.5 Dạng 5: Xác định tham số để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa 
mãn điều kiện cho trước . 
a) Phương pháp giải
Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình đã cho có nghiệm x1, x2.
Điều kiện : a 0 , 0
Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: 
 x1 x 2 f(m)
 (*)
 x1 .x 2 g(m)
Bước 3: Kiểm tra lại m có thỏa mãn điều kiện không rồi kết luận .
 GV: Nguyễn Thị Ái Trinh 9
 Đề tài: “Ứng dụng định lí Vi-et giải một số bài toán trong môn Đại số 9”
 (Chú ý cần đối chiếu tham số cần tìm được với điều kiện để phương 
trình đầu có nghiệm số).
b) Một số ví dụ
 Ví dụ 1. Cho phương trình : x2 -2(m - 1)x + m2 - 3 = 0 (1) ; m là tham số.
 Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba 
lần nghiệm kia.
 Hướng dẫn
 Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi ’ 0.
 (m - 1)2 -m2 -3 0
 4 - 2m 0
 m 2.
 Với m 2 thì (1) có 2 nghiệm.
 Gọi một nghiệm của (1) là a thì nghiệm kia là 3a . Theo Viet ,ta có:
 a 3a 2m 2
 2
 a.3a m 3
 m 1 m 1
 a = 3( )2 = m2 – 3
 2 2
 m2 + 6m – 15 = 0
 m = –3 2 6 ( thõa mãn điều kiện).
 Ví dụ 2. Cho phương trình 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0
 Không giải phương trình, tìm m để phương trình có hai nghiệm 
phân biệt x1; x2 thỏa mãn: 3x1 - 4x2 = 11
 Hướng dẫn
 Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 thì > 0
 (2m - 1)2 - 4. 2. (m - 1) > 0
 Từ đó suy ra m 1,5 (1)
 Mặt khác, theo định lý Viét và giả thiết ta có:
 GV: Nguyễn Thị Ái Trinh 10
 Đề tài: “Ứng dụng định lí Vi-et giải một số bài toán trong môn Đại số 9”
 2m 1 13- 4m
 x x x 
 1 2 2 1 7
 m 1 7m 7
 x1 .x 2 x2 
 2 26 -8m
 3x1 4x 2 11 13- 4m 7m 7
 3 4 11
 7 26 -8m
 13 - 4m 7m 7
 Giải phương trình 3 4 11 
 7 26 - 8m
 ta được m = - 2 và m = 4,125 (2)
 Đối chiếu điều kiện (1) và (2) ta có: Với m = - 2 hoặc m = 4,125 thì 
phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thỏa món 3x1 - 4x2 = 11
Ví dụ 3. Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m : 
(m – 4 )x2 – 2(m –2)x + m – 1 = 0
 Tính giá trị của m, biết rằng phương trình có hai nghiệm x 1, x2 thỏa mãn 
điều kiện : x1 + x2 + x1.x2 = 1
 Hướng dẫn
 Để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thì m 4, ’ 0
 ’ = (m–1)2 – (m–4)( m – 1) = m
 ’ 0 m -1 .
 2(m 2)
 x x 
 1 2 m 4
 Theo hệ thức Vi ét ta có : 
 m 1
 x .x 
 1 2 m 4
 Theo đề bài ta có: x1 + x2 + x1.x2 = 1.
 2(m 2) m 1
 + = 1
 m 4 m 4
 3m – 5 = m – 4.
 2m = 1
 1
 m = ( TMĐK
 2
 GV: Nguyễn Thị Ái Trinh 11
 Đề tài: “Ứng dụng định lí Vi-et giải một số bài toán trong môn Đại số 9”
 Vậy m = 1
 2
3.1.6 Dạng 6: Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1,x2 của phương trình 
bậc hai . 
a) Phương pháp giải
 Biểu thức giữa x1, x2 gọi là đối xứng với nhau nếu ta thay x1 bởi x2 và x2 
bởi x1 thì biểu thức không đổi 
 Ta có thể biểu thị được các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1, x2 theo 
S và P. 
 Ví dụ:
 2 2 2 2
 x 1 x 2 x 1 x 2 2x 1 x 2 S 2P
 3 3 3 3
 x1 x 2 x1 x 2 3x1x 2 x1 x 2 S 3SP
 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2
 x1 x 2 x1 x 2 2x1 x 2 (S 2P) 2P
 1 1 x x S
 1 2 
 x 1 x 2 x 1 x 2 P
 2 2 2
 1 1 x 1 x 2 S 2 P
 2 2 2 2 2
 x 1 x 2 x 1 x 2 P
Từ hệ thức Vi-ét tính S và P rồi thay vào biểu thức đối xứng rồi tính 
b) Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho phương trình x2 + 5x + 2 = 0
 Gọi x1, x2 là các nghiệm. Hãy tính giá trị các biểu thức:
 3 3 2 3 3 2
 x1 x2 ; x1 x2 x1 x2 ; x1 x 2
 Hướng dẫn giải
 Trước hết kiểm tra phương trình đã cho nghiệm hay không.
 = 25 - 8 = 17 > 0 Phương trình có 2 nghiệm x1 x2
 GV: Nguyễn Thị Ái Trinh 12
 Đề tài: “Ứng dụng định lí Vi-et giải một số bài toán trong môn Đại số 9”
 3 3 2
 Suy ra: x1 x2 S(S 3P) 95
 2 3 3 2 2 2 2
 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 P .S 20
 2 2 2
 x1 x 2 x1 x 2 x1 x 2 4x1x 2 S 4P 17
 2
Ví dụ 2. Cho phương trình x - ax + a - 1 = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2. 
 2 2
 3x1 3x 2 3
Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức: M 2 2 .
 x1 x 2 x1x 2
 Hướng dẫn giải
 Trước hết kiểm tra xem phương trình đã cho có nghiệm không ?
 Ta có: = a2 - 4 (a - 1) = (a - 2)2 0
 Nên phương trình đã cho có 2 nghiệm là: x1 và x2.
 Áp dụng hệ thức Viet ta có: x1 + x2 = a ; x1.x2 = a - 1.
 2 2 2
 3(x1 x2 ) 6x1x2 3 3a 6(a 1) 3 3a 6a 3
 M 2 (a 0; a 1)
 x1 x2 (x1 x2 ) a(a 10 a a
 3.1.7 Dạng 7: Dấu nghiệm số của phương trình bậc hai
a) Phương pháp giải
 Dùng định lý Viet ta có thể xét dấu các nghiệm phương trình
 ax2 + bx + c = 0 (a 0) dựa trên kết quả:
 c
 - Nếu p 0 phương trình có 2 nghiệm trái dấu x < 0 < x
 a 1 2
 ￿ 0
 - Nếu phương trình có 2 nghiệm cùng dấu.
 p 0
 0
 p 0
 - Nếu phương trình có 2 nghiệm dương 0 < x1 x2
 s 0
 GV: Nguyễn Thị Ái Trinh 13
 Đề tài: “Ứng dụng định lí Vi-et giải một số bài toán trong môn Đại số 9”
 Δ 0
 p 0
 - Nếu phương trình có 2 nghiệm âm: x1 x2 < 0
 s 0
b) Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho phương trình: mx2 - 2(3 - m)x + m - 4 = 0 (1)
 Xác định m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu 
 Hướng dẫn
 m 4
 Với m 0 khi đó để (1) có hai nghiệm trái dấu thì < 0 hay m < 4
 m
Ví dụ 2 : Cho phương trình: 2x2 - 2(m - 1)x + m2 - 4m + 3 = 0 (1)
 a, Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
 b, Xác định dấu của các nghiệm x1, x2 (x1 x2) với các giá trị tìm được của 
m.
 Hướng dẫn
 a, Vì (1) là phương trình bậc 2 ẩn x tham số m có nghiệm số 
 ’ 0 (m - 1)2 - 2 (m2 - 4m + 3) 0 - m2 + 6m - 5 0
 m2 - 6m + 5 0 (m - 1) (m - 5) 0 1 m 5.
 m 2 4m 3
 b, Theo hệ thức Viet có: P = x x = 
 1 2 2
 S = x1 + x2 = m - 1
 - Xét dấu của P = x1.x2.
 Ta có: m2 - 4m + 3 = 0 m = 1 hoặc m = 3
4. Kết quả đạt được
 Sau khi áp dụng đề tài đối với học sinh khối lớp 9 tại trường THCS và 
THPT Y Đôn, tôi nhận thấy các em vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán một 
cách linh hoạt, biết khai thác và sử dụng hệ thức Vi-ét vào giải nhiều loại bài 
 GV: Nguyễn Thị Ái Trinh 14
 Đề tài: “Ứng dụng định lí Vi-et giải một số bài toán trong môn Đại số 9”
toán dạng tam thức bậc hai, đa số học sinh không còn lúng túng khi gặp các 
bài toán có liên quan đến định lý Vi-ét. Các em đã hệ thống hóa được kiến 
thức và vận dụng một cách thành thạo, phát huy khả năng suy luận, óc phán 
đoán, tính linh hoạt, học sinh hứng thú học tập, tăng khả năng, năng lực học 
toán, chất lượng bộ môn Toán cũng cao hơn
 PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
 1. Kết luận
 Việc tìm hiểu nghiên cứu ứng dụng của định lý Vi- ét trong việc giải 
toán là một vấn đề lớn, nhiều bài toán tương đối phức tạp đòi hỏi người học 
phải có tính sáng tạo, có tư duy tốt và kỹ năng vận dụng lý thuyết một cách 
linh hoạt thì mới có thể hiểu sâu và hiểu rộng vấn đề. Chính vì lẽ đó, trong 
quá trình giảng dạy, người giáo viên cần chuẩn bị chu đáo, tỉ mỉ, rõ ràng từng 
dạng bài tập để học sinh hiểu rõ bản chất và biết cách vận dụng. Xây dựng 
cho các em niềm đam mê, hứng thú trong học tập. Cần thường xuyên kiểm 
tra, đánh giá kết quả học tập, bổ sung những thiếu sót kịp thời, dạy sâu, dạy 
chắc và kết hợp nhuần nhuyễn, lôgic giữa các bài khác nhau.Sau khi áp dụng 
đề tài tại trường tôi công tác tôi thấy phần lớn các em học sinh đã hiểu rõ bản 
chất các bài toán liên quan đến hệ thức Vi-ét và biết cách vận dụng khi giải 
bài tập . Tôi hy vọng đề tài này sẽ giúp ích cho các em học sinh trong việc 
học và giải các bài toán ứng dụng của hệ thức Vi-ét. Qua đó các em có 
phương pháp giải nhất định cho từng dạng toán, tránh tình trạng định hướng 
giải chưa đúng, lúng túng trong trình bày lời giải, hạn chế sai lầm khi giải bài 
tập. Tạo cho học sinh niềm đam mê, tích cực học tập và đạt kết quả cao hơn 
trong các kỳ thi. góp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán 9 ở 
trường THCS và THPT Y Đôn.
 GV: Nguyễn Thị Ái Trinh 15
 Đề tài: “Ứng dụng định lí Vi-et giải một số bài toán trong môn Đại số 9”
 2. Kiến nghị
 Để hoàn thành đề tài này ngoài việc nghiên cứu sách giáo khoa và các 
tài liệu liên quan, sự nỗ lực của bản thân còn có sự giúp đỡ nhiệt tình của các 
đồng nghiệp trong tổ chuyên môn và ban giám hiệu nhà trường. Tôi hy vọng 
đề tài “Ứng dụng định lý Vi-ét vào giải một số bài toán trong môn Đại số 
9” sẽ là một tài liệu tham khảo cho các bạn đồng nghiệp và các em học sinh .
 Rất mong quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp khi đọc sẽ có những góp ý 
thiết thực để đề tài được phong phú và đầy đủ hơn.
 Tôi xin chân thành cảm ơn !
 ĐakPơ, ngày 16 tháng 12 năm 2023
 Người thực hiện 
 Nguyễn Thị Ái Trinh
 GV: Nguyễn Thị Ái Trinh 16
 Đề tài: “Ứng dụng định lí Vi-et giải một số bài toán trong môn Đại số 9”
 ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NHÀ TRƯỜNG
 GV: Nguyễn Thị Ái Trinh 17