Ôn tập Toán Lớp 8 - Chuyên đề: Các bài toán về sự chia hết của số nguyên

= (23)17 - 1 23 - 1 = 7
b) 270 + 370 (22)35 + (32)35 = 435 + 935 4 + 9 = 13
c) 1719 + 1917 = (1719 + 1) + (1917 - 1) 
1719 + 1 17 + 1 = 18 và 1917 - 1 19 - 1 = 18 nên (1719 + 1) + (1917 - 1) 
hay 1719 + 1917 18
d) 3663 - 1 36 - 1 = 35 7
 3663 - 1 = (3663 + 1) - 2 chi cho 37 dư - 2
e) 2 4n - 1 = (24) n - 1 24 - 1 = 15
Bài 2: chứng minh rằng
a) n5 - n chia hết cho 30 với n Î N ; 
b) n4 -10n2 + 9 chia hết cho 384 với mọi n lẻ nÎ Z
c) 10n +18n -28 chia hết cho 27 với nÎ N ; 
Giải:
a) n5 - n = n(n4 - 1) = n(n - 1)(n + 1)(n2 + 1) = (n - 1).n.(n + 1)(n2 + 1) chia hết cho 6 vì
(n - 1).n.(n+1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 (*)
Mặt khác n5 - n = n(n2 - 1)(n2 + 1) = n(n2 - 1).(n2 - 4 + 5) = n(n2 - 1).(n2 - 4 ) + 5n(n2 - 1)
 = (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1)
Vì (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5
 5n(n2 - 1) chia hết cho 5
Suy ra (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1) chia hết cho 5 (*... nhà
Chứng minh rằng:
a) a5 – a chia hết cho 5
b) n3 + 6n2 + 8n chia hết cho 48 với mọi n chẵn
c) Cho a l à số nguyên tố lớn hơn 3. Cmr a2 – 1 chia hết cho 24
d) Nếu a + b + c chia hết cho 6 thì a3 + b3 + c3 chia hết cho 6
e) 20092010 không chia hết cho 2010
f) n2 + 7n + 22 không chia hết cho 9
II. Dạng 2: Tìm số dư của một phép chia
Bài 1: 
Tìm số dư khi chia 2100 
a)cho 9, b) cho 25, c) cho 125
Giải
a) Luỹ thừa của 2 sát với bội của 9 là 23 = 8 = 9 - 1
Ta có : 2100 = 2. (23)33 = 2.(9 - 1)33 = 2.[B(9) - 1] = B(9) - 2 = B(9) + 7
Vậy: 2100 chia cho 9 thì dư 7
b) Tương tự ta có: 2100 = (210)10 = 102410 = [B(25) - 1]10 = B(25) + 1
Vậy: 2100 chia chop 25 thì dư 1
c)Sử dụng công thức Niutơn:
2100 = (5 - 1)50 = (550 - 5. 549 +  + . 52 - 50 . 5 ) + 1
Không kể phần hệ số của khai triển Niutơn thì 48 số hạng đầu đã chứa thừa số 5 với số mũ lớn hơn hoặc bằng 3 nên đều chia hết cho 53 = 125, hai số hạng tiếp theo: . 52 - 50.5 cũng chia hết cho 125 , số hạng cuối cùng là 1
Vậy: 2100 = B(125) + 1 nên chia cho 125 thì dư 1
Bài 2:
Viết số 19951995 thành tổng của các số tự nhiên . Tổng các lập phương đó chia cho 6 thì dư bao nhiêu?
Giải
Đặt 19951995 = a = a1 + a2 + + an. 
Gọi = + a - a
 = (a1 3 - a1) + (a2 3 - a2) + + (an 3 - an) + a
Mỗi dấu ngoặc đều chia hết cho 6 vì mỗi dấu ngoặc là tích của ba số tự nhiên liên tiếp. Chỉ cần tìm số dư khi chia a cho 6
1995 là số lẻ chia hết cho 3, nên a củng là số lẻ chia hết cho 3, do đó chia cho 6 dư 3
Bài 3: Tìm ba chữ số tận cùng của 2100 viết trong hệ thập phân
giải
Tìm 3 chữ số tận cùng là tìm số dư của phép chia 2100 cho 1000
Trước hết ta tìm số dư của phép chia 2100 cho 125
Vận dụng bài 1 ta có 2100 = B(125) + 1 mà 2100 là số chẵn nên 3 chữ số tận cùng của nó chỉ có thể là 126, 376, 626 hoặc 876
Hiển nhiên 2100 chia hết cho 8 vì 2100 = 1625 chi hết cho 8 nên ba chữ số tận cùng của nó chia hết cho 8
trong các số 126, 376, 626 hoặc 876 chỉ có 376 chia hết cho 8
Vậy: 2100 viết trong hệ thập phân có ba ch...n + 1 = 1 n(n - 1) = 0 (Tm đề bài)
+ n2 - n + 1 = -1 n2 - n + 2 = 0 (Vô nghiệm)
Bài 3: Tìm số nguyên n sao cho:
a) n2 + 2n - 4 11 b) 2n3 + n2 + 7n + 1 2n - 1
c) n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + 1 n4 - 1 d) n3 - n2 + 2n + 7 n2 + 1 
Giải
a) Tách n2 + 2n - 4 thành tổng hai hạng tử trong đó có một hạng tử là B(11)
n2 + 2n - 4 11 (n2 - 2n - 15) + 11 11 (n - 3)(n + 5) + 11 11 
 (n - 3)(n + 5) 11
b) 2n3 + n2 + 7n + 1 = (n2 + n + 4) (2n - 1) + 5
Để 2n3 + n2 + 7n + 1 2n - 1 thì 5 2n - 1 hay 2n - 1 là Ư(5) 
Vậy: n thì 2n3 + n2 + 7n + 1 2n - 1
c) n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + 1 n4 - 1
Đặt A = n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + 1 = (n4 - n3) - (n3 - n2) + (n2 - n) - (n - 1)
= n3(n - 1) - n2(n - 1) + n(n - 1) - (n - 1) = (n - 1) (n3 - n2 + n - 1) = (n - 1)2(n2 + 1)
B = n4 - 1 = (n - 1)(n + 1)(n2 + 1)
A chia hết cho b nên n 1 A chia hết cho B n - 1 n + 1 (n + 1) - 2 n + 1 
 2 n + 1 
Vậy: n thì n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + 1 n4 - 1 
d) Chia n3 - n2 + 2n + 7 cho n2 + 1 được thương là n - 1, dư n + 8
Để n3 - n2 + 2n + 7 n2 + 1 thì n + 8 n2 + 1 (n + 8)(n - 8) n2 + 1 65 n2 + 1 
Lần lượt cho n2 + 1 bằng 1; 5; 13; 65 ta được n bằng 0; 2; 8
Thử lại ta có n = 0; n = 2; n = 8 (T/m)
Vậy: n3 - n2 + 2n + 7 n2 + 1 khi n = 0, n = 8
Bài tập về nhà:
Tìm số nguyên n để:
a) n3 – 2 chia hết cho n – 2
b) n3 – 3n2 – 3n – 1 chia hết cho n2 + n + 1
c)5n – 2n chia hết cho 63
IV. Dạng 4: Tồn tại hay không tồn tại sự chia hết
Bài 1: Tìm n N sao cho 2n – 1 chia hết cho 7
Giải 
Nếu n = 3k ( k N) thì 2n – 1 = 23k – 1 = 8k - 1 chia hết cho 7
Nếu n = 3k + 1 ( k N) thì 2n – 1 = 23k + 1 – 1 = 2(23k – 1) + 1 = BS 7 + 1
Nếu n = 3k + 2 ( k N) thì 2n – 1 = 23k + 2 – 1 = 4(23k – 1) + 3 = BS 7 + 3
V ậy: 2n – 1 chia hết cho 7 khi n = BS 3
Bài 2: Tìm n N để:
a) 3n – 1 chia hết cho 8
b) A = 32n + 3 + 24n + 1 chia hết cho 25
c) 5n – 2n chia hết cho 9
Giải
a) Khi n = 2k (k N) thì 3n – 1 = 32k – 1 = 9k – 1 chia hết cho 9 – 1 = 8
 Khi n = 2k + 1 (k N) thì 3n – 1 = 32k + 1 – 1 = 3. (9k – 1 ) + 2 = BS 8 + 2
Vậy : 3n – 1 chi