Đề chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 (Kèm hướng dẫn chấm)

ng
1
a
Giải phương trình nghiệm nguyên: 
(*)
0,5
Ta thấy: lẻ
0,25
Ta lại có: . Do đó 
0,25
Lúc đó: nên 
0,25
Ta thấy các cặp số (2;1), (2;-1), (-4;1), (-4;-1) thỏa mãn (*) nên là nghiệm của phương trình.
0,25
b
Ta có n4 + 4 = n4 + 4 + 4n2 – 4n2 
0,25
 = ( n2 + 2)2 – ( 2n)2
0,25
 = ( n2 – 2n + 2).( n2 + 2n+ 2)
0,25
Vì n là số tự nhiên nên n2 + 2n+ 2 > 1 nên
0,25
n2 – 2n + 2 = 1
0,25
 n = 1
0,25
2
a
 Cho . Hãy tính biết: ?
Nhân cả 2 vế của đẳng thức đã cho với ta được:
 (1)
0,5
Nhân cả 2 vế của đẳng thức đã cho với ta được:
 (2)
0,5
Cộng (1) với (2) theo vế rồi rút gọn ta được: x + y = 0.
0,75
Vậy A = 2016.
0,25
b) Chứng minh rằng: Nếu và thì 
Đặt: . Ta có: 
0,25
 vì (1)
0,5
Mặt khác: 
0,5
Suy ra: (2)
0,5
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
0,25
3
a
0,5
do với mọi x
0,5
Đặt (t > 0)
Ta được phương trình: 
0,5
Giải (*) được t = 2 thỏa mãn yêu cầu
Nên 
0,5
b
Dễ thấy , ta có: 
0,5
Đặt ta có hệ: 
0,5
+) Với ta có