Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013 - Phòng GD&ĐT Phù Ninh (Kèm hướng dẫn chấm)

O PHÙ NINH
HD CHẤM ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học 2012 - 2013
Môn: Toán
Câu I. (3,0 điểm)
a. ( 1,5 điểm) Cho , Chứng minh rằng: là một số chính phương.
0,75 đ
. 
Vậy P là số chính phương. 
0,75 đ
b. (1,5 điểm): 1. Chứng minh rằng mọi số nguyên tố p lớn hơn 3 đều viết được dưới dạng p = , với m là số tự nhiên.
2. Tìm số nguyên tố p sao cho là số nguyên tố.
- Mọi p nguyên tố lớn hơn 3, p không chia hết cho 2 và 3 nên , từ đó hay p =
- Xét p>3 thay p = vào biểu thức A= thấy (loại)
thay trực tiếp p =3, A=73 (nhận)
p=2, A=33 (loại).
0,75
0,75
2. Câu 2 (3,0 điểm): 
Cho biểu thức: 
Rút gọn .
Tính P khi .
Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.
a
1,0
b
1,0
c
ĐK: : 
Học sinh lập luận để tìm ra hoặc 
1,0
3. Câu 3 (6,0 điểm): Đại số 
	a) (2,0 điểm) Giải phương trình: 
1)
2,0đ
Đk: Phương trình tương đương với 
Đặt ta được phương trình hoặc
Với ta được (vô nghiệm)
Với ta được suy ra 
	b) (2,0 điểm) Cho trước số hữu tỉ m sao cho là ... H là trực tâm của tam giác ABC.
Chứng minh tương tự trên, ta có M là trung điểm của OF và 
0,25
0,25
0,5
(1 đ)
+ Trường hợp H ở trên nửa đường tròn (A) đường kính PQ và không chứa O:
Khi đó A là góc tù. Ta cũng chứng minh tương tự H là trực tâm tam giác ABC và M là trung điểm của bán kính OF.
Suy ra 
Mà (2 góc đối xứng nhau qua BC).
Nhưng (góc nội tiếp cùng chắn cung BKC.
Vậy 
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 5 (2,0 điểm): Cho a, b, c là ba số dương . Chứng minh rằng :
Bài 5
(2,5đ)
Áp dung Côsi : =
Suy ra : ( dấu " = " khi a = b + c)
Tương tự : ( dấu " = " khi b = c + a)
 ( dấu " = " khi c = a + b)
Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên , ta được : 
dấu " =" không xảy ra 
0,5
0,5
0,25
0,25
0,5
0,5