Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Trường THCS Cao Dương (Kèm hướng dẫn chấm)

 điểm M trên đường tròn (O) để hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn nhất.
Câu 5: (1điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
 xy2 + 2xy – 243y + x = 0
----------------Hết----------------
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH OAI
TRƯỜNG THCS CAO DƯƠNG
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Môn: Toán 
Năm học: 2015-2016
Câu
Đáp án
Điểm
Câu 1
( 6 đ)
 1.( 4đ)
a) (2đ)
1.a) Rút gọn biểu thức A = 
ĐKXĐ: x 0; x 4; x 9
= 
=
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
b) 
( 2đ)
b) Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = 1.
Hãy tính: 
A = 
Từ: xy + yz + xz = 1
 1 + x2 = xy + yz + xz + x2 = y(x + z) + x(x + z) 
= (x + z)(x + y)
Tương tự: 1 + y2 = xy + yz +xz +y2 = y.(x+ y) +z .(x +y) = ( x+ y).(y+z)
 1 + z2 = xy + yz + xz + z2 =x .( y + z)+ z. (y + z) = ( y +z). ( x +z)
= 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
2. (2 đ)
Ta có: 46n + 296.13n = 46n - 13n + 297.13n
 = 46n - 13n + 9.33.13n
 = (46-13).() + 9.33.13n
 = 33 . () + 9.33.13n 33 
Lại có: 4...ng là 2 tam giác vuông có 1 góc bằng nhau là , vì OE // BM
=> (4)
Mặt khác, vì KP//AE, nên ta có tỉ số (5)
Từ (4) và (5) ta có : AO.MP = AE.BP = KP.AB,
mà AB = 2.OA => MP = 2.KP
Vậy K là trung điểm của MP.
d) Áp dụng bất đẳng thức cosi với 4 số không âm a,b,c,d ta có: 	abcd (*)
	Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d
	MP = 
 Ta có: S = SAPMQ = 
	S đạt max Û đạt max Û x.x.x(2R – x) đạt max 
Û đạt max 
Áp dụng (*) với a = b = c = 
Ta có : 
	Do đó S max Û Û . 
Vậy khi MP= thì hình chũ nhật APMQ có diện tích lớn nhất 
0,5đ
0,75đ.
0,25đ.
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ.
0,25đ
Câu 5
( 1đ)
Ta có xy2 + 2xy – 243y + x = 0 x(y + 1)2 = 243y (1)
Từ (1) với chú ý rằng (y + 1; y) = 1 ta suy ra (y + 1)2 là ước của 243.
Vậy (x, y) = (54, 2) ; (24, 8)
0,5đ
0,5đ
 Cao Dương ngày 20 tháng 10 năm 2015
 DUYỆT CỦA BGH Người ra đề
 Lưu Thị Liên