Tuyển tập đề thi môn Toán THCS tỉnh Hải Dương

ạn thông 
cảm. 
hieuchuoi@ 
Tháng 7.2006 
 3 
PHẦN I 
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI 
MÔN THI: TOÁN CHUYÊN
 4 
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI 
NĂM HỌC 1997-1998 
MÔN THI: TOÁN CHUYÊN – THỜI GIAN: 150 PHÚT 
Câu I: 
1) Tìm các số tự nhiên a, b thỏa mãn: 2 2( 1) ( 1)ab a b= − + + 
2) Tìm các số tự nhiên x, y, z thỏa mãn: 3 3 34 2 0x y z− − = 
Câu II: 
1) Tính tổng 
 1 1 1 1 1 11 1 .... 1
2 2 2 2 2 22 3 3 4 1997 1998
S = + + + + + + + + + 
2) Tính giá trị biểu thức A: 
2 2 1A x x x= + + + với 1 1 12 2
2 8 8
x = + − 
Câu III: 
Ba đường phân giác trong các góc A, B, C cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác 
ABC tại 1 1 1, ,A B C . Chứng minh rằng: 
1 1 1AA BB CC AB BC CA+ + > + + 
Câu IV: 
Cho hình bình hành ABCD, đường phân giác 
BAD cắt cạnh BC và CD tại M 
và N. 
1) Chứng minh rằng: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN nằm trên 
đường tròn ngoại tiếp tam giác CBD . 
2) Gọi K là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN... 
các cạnh là những số nguyên. Người ta tô mỗi cạnh bằng một trong hai màu 
xanh hoặc đỏ. 
Chứng minh rằng bao giờ cũng tồn tại cách tô màu sao cho tổng độ dài 
các cạnh màu xanh bằng tổng độ dài các cạnh màu đỏ. 
Câu V: 
Chứng minh bất đẳng thức: 
( )2
1
2
3 2
m
n n
− ≥
+
 với *,m n N∈ 
 7 
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI 
NĂM HỌC 2000-2001 
 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN - THỜI GIAN: 150 PHÚT 
Câu I: 
Tính giá trị của biểu thức: 
1995.1997.1998.1999.2000.2001 36+ 
Câu II: 
1) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: 
5 2 4 3 2 2 3 6 7x y y x x y x y− + + − − + + + + + + = 
2) Giải phương trình theo tham số m: 
m m m x x− − − = 
3) Cho tứ giác lồi có diện tích bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng các cạnh 
và hai đường chéo. 
Câu III: 
Chứng minh rằng với bất kì hai số a và b luôn tìm được các số x, y trong đó 
0 1,0 1x y≤ ≤ ≤ ≤ . Thỏa mãn bất đẳng thức: 
1
3
xy ax by− − ≥ 
Có thể thay số 
1
3
ở bất đẳng thức trên bằng hằng số c khác với 
1
3
c > được 
không? 
Câu IV: 
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, hai đường chéo AC và BD cắt 
nhau tại I. Gọi 1O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABI, 2O là tâm của 
đường tròn ngoại tiếp tam giác CDI. 
1) Chứng minh tứ giác 1 2OOO I là hình bình hành. 
2) Một đường thẳng qua I cắt đường tròn tâm O tại M, N, cắt đường tròn tâm 
1O và tâm 2O thứ tự tại P, Q. Chứng minh rằng PM=QN. 
 8 
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI 
NĂM HỌC 2001-2002 
 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN -THỜI GIAN: 150 PHÚT 
Câu I: 
Chứng minh rằng biểu thức: 
2 2
x y x y
A xy x xy y
 +   + 
= + − + − −   
   
Không phụ thuộc vào x và y. 
Câu II: 
1) Giải phương trình 
( ) ( ) ( )2 2 22 1 4 1 12 1x x x− − − = + 
2) Xác định các giá trị của m để phương trình: 
2 2
24 4 1 6 7 0
2
x mx m
x x
x m
− + +
+ − + =
−
Có một nghiệm duy nhất. 
Câu III: 
1) Cho hai đường tròn tâm 1O và 2O tiếp xúc trong tại M (đường tròn tâm 
2O nằm trong), N là một điểm n... CHUYÊN NGUYỄN TRÃI 
NĂM HỌC 2003-2004 
 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN - THỜI GIAN: 150 PHÚT 
Câu I: 
Cho hai số dương a và b. Xét tập hợp T bao gồm các số có dạng 
{ }; 1; 0; 0T ax by x y x y= + + = > > 
Chứng minh rằng các số 
2ab
a b+
 và ab đều thuộc tập hợp T. 
Câu II: 
Cho tam giác ABC, D và E là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với các 
cạnh AB và AC, đường phân giác của góc B cắt đường thẳng DE tại H. 
Chứng minh tam giác BHC là tam giác vuông. 
Câu III: 
1) Giải hệ phương trình; 
( )( )
( )( )
2 2
2 2
45
85
x y x y
x y x y
 + − =

− + =
2) Tìm các số hữu tỉ a, b, c sao cho các số 
1 1 1
; ;a b c
b c a
+ + + là các số nguyên dương. 
Câu IV: 
Tìm đa thức ( )f x và ( )g x hệ số nguyên sao cho: 
( )
( )
2 7
2
2 7
f
g
+
=
+
Câu V: 
Tìm số nguyên tố p để 24 1p + và 26 1p + đều là các số nguyên tố 
Câu VI: 
Cho phương trình 2 0x ax b+ + = có hai nghiệm là 1x và 2x ( )1 2x x≠ . Đặt 
1 2
1 2
n n
n
x x
u
x x
−
=
−
 (n là số tự nhiên). Tìm giá trị a và b sao cho đẳng thức 
 11 
( )1 2 3 1
n
n n n nu u u u+ + +− = − đúng với mọi số tự nhiên n, từ đó suy ra 
1 2n n nu u u+ ++ = . 
 12 
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI 
NĂM HỌC 2004-2005 
 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN - THỜI GIAN: 150 PHÚT 
Câu I: 
Tìm giá trị của a đề phương trình: 
( ) ( ) ( )4 3 21 3 3 3 3 3 3a x a a a x− + − + + = − 
Có vô số nghiệm. 
Câu II: 
Tìm các số tự nhiên a, b, c ( )a b c≤ ≤ thỏa mãn đẳng thức: 
1 1 1
1 1 1 2
a b c
   + + + =   
   
Câu III: 
Cho a, b, c là các số nguyên dương sao cho 
3
3
a b
b c
−
−
 là số hữu tỉ. 
1) Chứng minh rằng 2b ac= 
2) Với 1b ≠ . Chứng minh rằng 2 2 2a b c+ + là hợp số. 
Câu IV: 
Cho hình bình hành ABCD, M là điểm nằm trong hình bình hành sao cho 

 
 0180AMB CMD+ = . Chứng minh rằng 
 
MAD MCD= . 
Câu V: 
Cho tam giác cân ( )ABC AB AC= , đường phân giác trong kẻ từ đỉnh B cắt 
cạnh AC tại D thỏa mãn BC BD DA= + . 
1) Tính các góc của tam gi