Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ

ương pháp giải phương trình vô tỷ”, 
 với mục đích mong muốn đề tài này sẽ góp phần giúp học sinh có thêm những kĩ năng 
giải toán phương trình vô tỷ và các dạng toán khác. 
II. Phạm vi nghiên cứu 
 Tập trung vào một số dạng toán của phương trình vô tỷ đi từ để đến khó 
III. Thời gian nghiên cứu 
 Năm học 2011-2012 
B. NỘI DUNG THỰC HIỆN ĐỀ TÀI 
Phần 1: Nhắc lại kiên thức liên quan 
1. Khái niệm 
 Phương trình vô tỷ là những phương trình có chứa ẩn ở dưới dấu căn 
Ví dụ: Các phương trình sau là các phương trình vô tỷ 
 a. 321 xx 
 b. 341 xx 
2. Các hằng đẳng thức đã học 
 (a+b)2 = a2+ 2ab+ b2 ; (a- b)2 = a2- 2ab+ b2 
 (a+b)3 = a3+ 3a2b+3ab2+ b3 ; (a-b)3 = a3 - 3a2b+ 3ab2 - b3 
Phần 2. Một số phương pháp giải: 
 Phương pháp 1. Nâng lên lũy thừa 
 1. Hướng dẫn: Chúng ta thường sử dụng các kiến thức cơ bản sau 
2
0
BA
B
BA ; 
BA
BhayA
BA
)0(0
; BABA 33 
Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ 
Nguyn Ngô Tun Khanh 2 
 * Chú ý: Nếu ...g pháp giải phương trình vô tỷ 
Nguyn Ngô Tun Khanh 4 
 Hướng dẫn: + Đặt t= )(xf , t ≥ 0 
 + Phương trình (*) trở thành: a.t2+ b.t+ c= 0 
 + Giải phương trình tìm t x 
 Bài tập. Giải phương trình 
(x+5)(2-x)=3 xx 32 (*) 
Đk: x2+3x ≥0 x≤ -3; x≥ 0 
 Ta có (*) 010333 22 xxxx 
 Đặt t= xx 32 , t ≥0; ta có phương trình: 
5
2
01032
t
t
tt 
 Với t=2, ta có xx 32 =2 
4
1
0432
x
x
xx (thỏa đk) 
 Vậy phương trình (*) có nghiệm x=1; x=-4 
 Dạng 2.     0)()()().()()( dxgxfcxgxfbxgxfa ( với abc 0) 
 Hướng dẫn: Đặt t=  )()( xgxf 
 Bài tập . Giải phương trình 
 1635223132 2 xxxxx (*) 
 Đk : x ≥ -1 
 Đặt t= 132 xx , t > 0 435223 22 txxx 
Từ (*) ta có phương trình: 
4
5
0202
t
t
tt 
Với t=5, ta có: 132 xx =5 xxx 3213522 2 
22 )321()352(4
7
xxx
x
0429146
7
2 xx
x
143
3
7
x
x
x
3 x ( thỏa đk) 
 Vậy phương trình (*) có nghiệm x=3 
 Dạng 3. cxfbxfa mn )()( ; m,n Z+; m,n ≥ 2 
Hướng dẫn: + Đặt 
m
n
xfbv
xfau
)(
)(
 + Gỉai hệ phương trình tìm u, v x 
(loại) 
 (loại) 
Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ 
Nguyn Ngô Tun Khanh 5 
Bài tập . Giải phương trình 
 3 24 12 6x x (*) 
 Đk: x≤ 12 
 Đặt 
3 24
12 , 0
u x
v x v
Ta có hệ phương trìnhh: 
3 2 3 2 3 2
6 6 6
36 (6 ) 36 (6 ) 36
u v v u v u
u v u u u u
3 2 2
6 6 6
0; 3; 412 0 ( 12) 0
v u v u v u
u u uu u u u u u
+ Với: 
0
6
u
v
ta có: 
24 0
12 36
x
x
24x (thỏa đk) 
+ Với: 
3
3
u
v
ta có: 
24 27
12 9
x
x
3x (thỏa đk) 
+ Với: 
4
10
u
v
ta có: 
24 64
12 100
x
x
88x (thỏa đk) 
Vậy phương trình (*) có 3 nghiệm x=-24 ; x=3 ; x=-88 
 Dạng 4. ax b ( ; 2)n nx b a n Z n ; m,n Z+; m,n ≥ 2 
Hướng dẫn: + Đặt ax+bnt 
 + Đưa về hệ đối xứng 
Bài tập . Giải phương trình 
 332 2 1 1x x (*) 
 Đặt 33 2 1 2 1t x t x 
 Ta có hệ phương trìnhh: 
3 3
3 3
1 2 1 2 (1)
2 1 1 2 (2)
x t x t
t x t x
 Lấy (1) –(2) ta được: 3 3 2( )x t t x 2 2( )( ) 2( ) 0x t x xt t x t 
 2 2( )( 2) 0x t x xt t 
2 2 2 0 (...
 Đk: -1≤ x≤ 1 
 Đặt t= 2 2 4 21 1 2 1 2x x x t 
2 2
4
1 1
' ; ' 0 ; 0
1
x x
t x t x
x
 Bảng biến thiên: 
t 
f ’(t) 
f (t) 
0 1 
2 
_ 
2 
t 
 t’ 
 t 
-1 1 
2 
0 
2 
0 
+ _ 
2 
Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ 
Nguyn Ngô Tun Khanh 8 
 Từ bảng biến thiên 2 2t 
 (1) trở thành 
2
2 1( 1) 1
1
t t
m t t t m
t
 Để (1) có nghiệm x [-1;1] thì (2) có nghiệm t 2;2 
 Xét hàm số 
2 2
2
1 2
( ) ; '( ) 0 2;2
1 ( 1)
t t t t
f t f t t
t t
  
 Bảng biến thiên: 
 Theo bảng biên thiên, yêu cầu bài toán được thỏa mãn 
7
2 2 1
3
m 
* Bài tập tự luyện 
 a.Cho phương trình 24 5 4x x m x x . Tìm m để phương trình có nghiệm 
 b.Cho phương trình 4 2 22 1 1x x x x m . Tìm m để phương trình có nghiệm 
 c.Tìm m để phương trình 2 2 2 1x mx x có 2 nghiệm thực phân biệt 
 (ĐHKB- 2006) 
 d.Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực 243 1 1 2 1x m x x 
 (ĐHKA- 2007) 
 e. Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m, phương trình sau có hai nghiệm 
thực phân biệt 2 2 8 ( 2)x x m x (ĐHKB- 2007) 
t 
 f’(t) 
 f(t) 
2 
2 
+ 
2 2 1 
7
3
Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ 
Nguyn Ngô Tun Khanh 9 
D . KẾT LUẬN : 
Phương trình vô tỷ là một đề tài lý thú vị của Đại số, đã lôi cuốn nhiều người 
nghiên cứu say mê và tư duy sáng tạo để tìm ra lời giải hay, ý tưởng phong phú và tối ưu. 
Tuy đã được nghiên cứu từ rất lâu nhưng phương trình vô tỷ mãi mãi vẫn còn là đối tượng 
mà những người đam mê Toán học luôn tìm tòi học hỏi và phát triển tư duy. 
Chúng tôi hy vọng chuyên đề này sẽ mang lại cho bạn đọc nhiều điều bổ ích và 
giúp các bạn cảm nhận thêm vẻ đẹp của Toán học qua các cách giải của phương trình vô tỉ 
 Mặc dù đã cố gắng rất nhiều, nhưng chuyên đề có thể còn vài thiếu sót. Chúng tôi 
luôn biết ơn khi nhận được những ý kiến đóng góp quý báu và sự thông cảm! 
 Giá Rai, ngày 27 tháng 2 năm 2013 
 Người viết 
 Nguyễn Ngô Tuấn Khanh