Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện và sử dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

yết mạnh mẽ các vấn đề của 
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. 
1. Thực trạng của vấn đề 
Trường THPT Nguyễn Trung Trực đa số học sinh có học lực trung bình yếu 
nên khi gặp các bài toán về hình học nói chung và hình học giải tích nói riêng thì 
các em rất e ngại, lúng túng không biết giải quyết bài toán như thế nào ?... Tuy 
nhiên, để giúp học sinh khắc phục những thiếu sót và yếu kém trên nên tôi mạnh 
dạn viết chuyên đề “Rèn luyện và sử dụng phương pháp tọa độ trong mặt 
phẳng” mà tôi đã từng áp dụng một cách hiệu quả trong các năm gần đây. 
2. Mục đích nghiên cứu 
Nghiên cứu cơ sở lý luận tư duy hàm, nghiên cứu nội dung chương trình 
hình học THPT, các bài toán dành cho học sinh khá, giỏi từ đó xây dựng các thao 
tác cần thiết để giúp học sinh sử dụng tốt phương pháp tọa độ vào giải các bài toán 
tổng hợp. 
3. Nhiệm vụ nghiên cứu 
Để đạt được mục đích trên, đề tài tập trung làm rõ các vấn đề sau: 
+ Khái niệm về tư duy hàm. 
+ Cơ sở lý luận của phương pháp tọa độ ...ectơ 
Cho ( ) ( )1 2 1 2; , ;a a a b b b= =



, ta có: 
( )
( )
1 1 2 2
1 2
;
. ; ,
a b a b a b
k a ka ka k
± = ± ±
= ∀ ∈





ℝ
6. Quan hệ giữa tọa độ của vectơ và tọa độ của điểm 
Nếu ( ) ( ); , ;A A B BA x y B x y thì ( );B A B AAB x x y y= − −


. 
7. Hai vectơ cùng phương 
Cho ( ) ( )1 2 1 2; , ; 0a a a b b b= = ≠

 


. Khi đó: 
,a b



 cùng phương 1 1
2 2
: :
a kb
k a kb k
a kb
=
⇔ ∃ ∈ = ⇔ ∃ ∈ 
=



ℝ ℝ 
RÈN LUYỆN VÀ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 
4
8. Tích vô hướng của hai vectơ: 
Cho ( ) ( )1 2 1 2; , ;a a a b b b= =



. 
+ Biểu thức tọa độ của tích vô hướng: Tích vô hướng của a


 và b


 ký hiệu là 
ab



 là một số được xác định theo công thức: 
( ) 1 1 2 2cos ,ab a b a b a b a b= = +

 
 

 
 

+ Các ứng dụng của tích vô hướng: 
Độ dài của vectơ: 2 21 2a a a= +


Khoảng cách giữa hai điểm ( ) ( ); , ;A A B BA x y B x y : 
( ) ( )2 2B A B AAB AB x x y y= = − + −


Góc giữa hai vectơ: ( ) 1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
cos ,
ab a b a b
a b
a b a a b b
+
= =
+ +







 
9. Tọa độ trung điểm đoạn thẳng, tọa độ trọng tâm tam giác 
+ ( );I II x y là trung điểm của AB với ( ) ( ); , ;A A B BA x y B x y thì: 
2
2
A B
I
A B
I
x x
x
y y
y
+ =

+ =

+ ( );G GG x y là trọng tâm của tam giác ABC với ( ) ( ); , ; ,A A B BA x y B x y và 
( );C CC x y thì: 
3
3
A B C
G
A B C
G
x x x
x
y y y
y
+ + =

+ + =

10. Phương trình đường thẳng 
RÈN LUYỆN VÀ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 
5
Đường thẳng ∆ đi qua điểm ( );o oA x y và nhận ( );n a b=


 làm vectơ pháp 
tuyến có phương trình tổng quát là: 
( ) ( ) 0
 0,
o o
o o
a x x b y y
hay ax by c c ax by
− + − =
+ + = = − −
Đường thẳng ∆ đi qua điểm ( );o oA x y và nhận ( )1 2;u u u=


 làm vectơ chỉ 
phương có phương trình tham số là: 
( )1
2
o
o
x x tu
t
y y tu
= +
∈
= +
ℝ 
11. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: 
Khoảng cách từ điểm ( ...C AC AC
= ⇒ =

 

- Giải hệ trên tìm được điểm E. 
f. Bài toán 6. Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC 
* Phương pháp: 
- Tìm D là chân đường phân giác trong kẻ từ A 
của tam giác ABC. 
- Tìm J là chân đường phân giác trong kẻ từ B 
của tam giác ABD. 
- Kết luận J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 
g. Bài toán 7. Tìm tọa độ tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC 
* Phương pháp: 
- Tìm D là chân đường phân giác trong kẻ từ A 
của tam giác ABC 
- Tìm K là chân đường phân giác ngoài kẻ từ B 
của tam giác ABD. 
- Kết luận K là điểm cần tìm. 
h. Lưu ý về tính chất đặc biệt của đường thẳng Ơ-le 
Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và I là tâm 
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì: 
+ I, G, H thẳng hàng (đường Ơ-le). 
+ AH = 2.IM (và AH // IM, với M là trung điểm cạnh BC). 
2. Dạng 2. Các bài toán tìm điểm hình chiếu, điểm đối xứng và ứng dụng tính 
chất đối xứng 
a. Bài toán 1. Cho điểm A và đường thẳng d. Tìm điểm H là điểm hình chiếu của 
A lên d. 
* Phương pháp: 
A
B CD
J
A
B
CD
K 
A
B C
IH
( )C
M
G
RÈN LUYỆN VÀ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 
8
- Viết PT đt AH qua A và vuông góc với d 
- Tìm H là giao của AH với d. 
b. Bài toán 2. Cho điểm A và đường thẳng d. 
Tìm điểm A’ là điểm đối xứng với A qua d. 
* Phương pháp: 
- Viết PT đt AH qua A và vuông góc với d 
- Tìm H là giao của AH với d. 
- Tìm A’ thuộc d sao cho H là trung điểm của AA’. 
c. Bài toán 3. Ứng dụng tính đối xứng 
Nếu ∆ là phân giác của góc tại bởi 2 đt & 'd d thì 
mọi điểm thuộc d lấy đối xứng qua ∆ được các 
điểm thuộc d’ tương ứng. 
Như vậy, khi bài toán cho đường phân giác thì chúng ta nghĩ đến tính 
chất đối xứng 
* Chú ý: Cho đường thẳng : . . 0A x B y C∆ + + = 
- Nếu 1 1 1 1: . . 0 ( )d PT d A x B y C C C∆⇒ + + = ≠ 
- Nếu 2 2 2 2: . . 0 . . 0d PT d B x A y C B x A y C⊥ ∆⇒ − + = ∨ − + + = 
@ NHẬN XÉT VỀ “HIỆU ỨNG” CỦA CÁC ĐƯỜNG ĐẶC BIỆT 
TRONG TAM GIÁC 
d
A
'A
H
d
'd
∆
A
'A